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Al-Khuwarizmi

Al-Khuwarizmi

Khuwārizmī, Abou Abdallah Muḥammad Ben Mūsa ʾal- Khuwārizmī, Abou Abdallah Muḥammad Ben Mūsa ʾal- Khuwārizmī, Abou Abdallah Muḥammad Ben Mūsa ʾal- Khuwārizmī, Abou Abdallah Muḥammad Ben Mūsa ʾal- Abou Jafar Muhammad Ibn Mūsa al-Khuwārizmī (persan ابو عبد الله محمد بن موسى خوارزمي - 'Abû `Abd 'Allah Muhammad Ben Mûsa ’al-Khuwârizmî ; né vers 783 à Khiva, décédé vers 850 à Bagdad), est l'auteur de l'ouvrage intitulé Al-ĵabr wa'l-muqābalah (الجبر و المقابلة - Al-jabr wa’l-muqâbalah), qui signifie « La transposition et la réduction », publié en 825. Le terme al-jabr fut repris par les Européens et devint plus tard le mot algèbre. Son autre ouvrage, disparu, Kitāb 'al-ĵāmi` wa'l-tafrīq bī h'isāb ’al-Hind (كتاب الجامع و التفريق بحساب الهند - Kitâb ’al-jâmi‘ wa’l-tafrîq bî h'isâb ’al-Hind, « Livre de l'addition et de la soustraction d'après le calcul indien »), est le premier à parler du système des chiffres indiens. Le livre contient six courts chapitres, consacré chacun à un type particulier d'équation. Il ne contient aucun chiffre. Toutes les équations sont exprimées avec des mots. Le carré de l'inconnue est nommé «le carré» ou mâl, l'inconnue est «la chose» ou shay ou jidhr, la constante est le dirham ou adǎd. Son nom, al-Khuwārizmī, latinisé au Moyen Âge en Algoritmi, puis en Algorisme par les Européens, est à l'origine du mot algorithme, qui veut dire « procédure ». En revanche le principe des algorithmes était connu depuis l'Antiquité (algorithme d'Euclide), et Donald Knuth mentionne même leur usage par les Babyloniens. De manière anecdotique, on doit aussi à ’al-Khuwārizmī la tradition consistant à appeler l'inconnue d'une équation mathématique X. En effet, dans son ouvrage ’Al-ĵabr wa'l-muqābala, il expose une méthode (un algorithme au sens propre, donc) pour expliciter une inconnue, ou šay, littéralement « chose », dans une équation du premier degré, en utilisant des ĵabr, « soustractions » (ou « transpositions ») et des muqābala, « égalités » (ou confrontation de deux entités). Après plusieurs avatars, šay ’ (écrit xay en espagnol ancien) a fini par donner X.
Voir aussi

Liens internes

- algèbre
- algorithme
- mathématiciens célèbres
- chiffres arabes
Liens externes

- [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Al-Khwarizmi.html Sur Al-Khwarizmi, mathématicien (en anglais)]
- [http://www.pourlascience.com/index.php?ids=goMjZCTswwPZgebZIRxD&Menu=Pls&Action=3&idn3=3361 Sur l'origine du mot Algorithme]
- [http://members.aol.com/OlivThill/algebra.htm Sur l'origine de l'algèbre] ja:フワーリズミー ko:알 콰리즈미 ms:Abu Abdullah Mohammad Ibn Musa al-Khawarizmi simple:Al-Khwarizmi th:อัลคอวาริซมีย์

Catégorie:Algorithmique
Catégorie:Développement logiciel catégorie:Informatique théorique L'algorithmique est la science des algorithmes. Elle vise à étudier les opérations nécessaires à la réalisation d'un calcul. Cette catégorie réunit tous les articles autour de ce thème. Les algorithmes, fruits de l'algorithmique, sont rangés dans la catégorie algorithme. En savoir plus sur l'algorithmique

Catégorie:Scientifique arabo-musulman

Arabo-musulman Catégorie:Monde arabo-musulman

Persan

Introduction

Le persan (فارسی), parfois aussi appelé farsi (appellation locale en Iran et en Afghanistan), parsi (appellation locale ancienne, encore utilisée par certains locuteurs), tadjik (un dialecte d'Asie centrale) ou dari (appellation locale en Afghanistan), est une langue parlée en Iran (plus de 60 millions de locuteurs), en Afghanistan (5 millions), au Tadjikistan, au Bahrein et en Ouzbékistan. Il a le statut de langue officielle dans les trois premiers pays cités. Il compte au total plus de 75 millions de locuteurs et appartient au groupe indo-iranien de la famille des langues indo-européennes. C'est une langue du type "sujet-objet-verbe". Farsi et dari s’écrivent aujourd’hui au moyen d'une variante de l'alphabet arabe. Le tadjik s’écrit en caractères cyrilliques. Bien qu’utilisant une forme de l'alphabet arabe, le persan est n'a aucune parenté avec la langue arabe, dont la grammaire et les sonorités sont complétement différentes.

Histoire

Le persan est un membre du groupe indo-iranien (aryen) de la famille linguistique indo-européenne. Les linguistes reconstituent ainsi l'évolution de cette branche: vieux-persan (avestique et persan achéménide) → moyen-persan (pahlavi, parthe et persan sassanide) → persan moderne (dari, etc.). Il ne faut pas confondre le vieux-persan, la langue de la plupart des inscriptions achéménides, avec la langue élamite, qui n'est pas indo-européenne. Au cours du temps, la morphologie de la langue a été grandement simplifiée et la conjugaison et la déclinaison complexes des origines a cédé la place à la morphologie régulière et à la syntaxe rigide que l'on connaît aujourd'hui. Cette évolution est souvent comparée au développement de l'anglais. En outre, de nombreux mots provenant des langues avoisinantes (araméen et grec dans les temps anciens, plus tard l'arabe et, dans une moindre mesure, le turc) ont été introduits dans le vocabulaire persan. Plus récemment, les emprunts aux langues européennes (principalement au français et à l'anglais) ont été les plus fréquent.

Voir aussi

Articles connexes

- Perse
- persan (homonymie)
- linguistique
- dictionnaire des langues
- langues par famille
- langues indo-européennes
-
- langues indo-iraniennes
-
- langues iraniennes

Liens externes

- [http://www.freelang.com/dictionnaire/iranien.html Dictionnaire Freelang] - Dictionnaire iranien-français/français-iranien.
- [http://languageserver.uni-graz.at/ls/lang?id=4643 Western Farsi (Languages of the World)]
- ja:ペルシア語 ko:페르시아어 th:ภาษาเปอร์เซีย

783

Catégorie:783 | | Années 760 | Années 770 | Années 780 | Années 790 | Années 800 778 | 779 | 780 | 781 | 782 | 783 | 784 | 785 | 786 | 787 | 788 ---- Cette page concerne l'année 783 du calendrier julien.

Événements

- Paix entre le Tibet la Chine. Les Tibétains contrôlent les oasis d’Asie centrale, dont Dunhuang.
- Manuscrits de Dunhuang, écrits en chinois, tibétain et sanskrit, découvert en 1900 par Wang, un moine taoïste chinois dans une grotte de l’oasis (conservés au British Museum).
- Charlemagne entre en Saxe après Pâques avec des forces considérables. Certainement repoussé près de Detmold, il se replie sur Paderborn où il fait venir des renforts, puis écrase les rebelles sur la Hase, passe la Weser et pousse pour la première fois jusqu’à l’Elbe.
- De retour de Saxe, Charlemagne épouse la cruelle Fastrade, qui lui donne deux filles, Théodrade et Hiltrude.
- Assolement triennal attesté en Thuringe.
- Paix gréco-arabe.
- Expédition de Staurakios contre les Slaves en Grèce méridionale.

Naissances

- Al-Khuwarizmi mathématicien persan d'expression arabe du Moyen Âge, à Khiva (Ouzbékistan) (date approchée, retenue pour la commération des 1200 ans) († vers 850)

Décès en 783

- Hildegarde, femme de Charlemagne à Thionville (avril).
- Berthe aux Grands Pieds, épouse de Pépin le Bref et mère de Charlemagne (juillet).
- Hildegarde de Vintzgau (26 avril) ko:783년

Khiva

Khiva (Xiva en ouzbek) est une ville d'Ouzbékistan, elle située au nord-ouest de ce pays. Son ancien nom, Khwarizm, Khorezm, etc., est celui de la région historique dont elle fut la capitale. Selon la légende, Khiva fut fondée à l'endroit où Sem (le fils de Noé) creusa le puits Keivah. Khiva fut jusqu'au début du siècle la capitale du Khorezm (qui fut un royaume vassal de la Perse). La région particulièrement aride bénéficia des connaissances hydrologiques des conquérants arabes et fut visitée par différents conquérants : Arabes, Mongols, Ouzbeks. C'est la ville natale du mathématicien Abou Abdallah Muḥammad Ben Mūsa ʾal-Khuwārizmī (vers 780-vers 850), aussi appelé al-Khwarizmi, al-Khorezmi, etc. C'est dans le voisinage que naquit le grand savant encyclopédiste Al-Biruni (973-1048). Le khanat de Khiva (1512-1920) fut l'un des trois khanats ouzbeks issus de la dislocation du khanat de Djaghataï, avec ceux de Boukhara (qui englobait Samarcande) et de Kokand. Catégorie:Ville d'Ouzbékistan

Bagdad

Bagdad est la capitale et la plus grande ville de l'Irak. Elle se situe sur le Tigre au centre est du pays (44,5° E - 33,5° N) et est un carrefour de communications aériennes, routières et ferroviaires pour le pays.

Historique

Elle fut fondée au par le calife abbasside al-Mansur. Après la prise du pouvoir par les Abbassides au détriment des Omeyyades de Damas au Moyen Âge, la ville fut choisie comme capitale du califat, mais eut pour rivales dans cette fonction, d'abord le Caire (Fatimides), puis Cordoue. La Bagdad des Abbassides est une ville ronde de quatre kilomètres de diamètre, protégée par un fossé de vingt mètres de large et une double enceinte circulaire. Le palais, la mosquée et les casernes se trouvent au centre, tandis que la ville constitue un anneau entre les deux remparts. Elle devient la plaque tournante du grand commerce :
- ports du golfe Persique (Ubullah, port de Basra ou Sirâf) vers l'Inde (épices, pierres précieuses), la Chine (soie), le Yémen (parfums) et l'Afrique orientale (bois précieux, ivoire, or) ;
- route de la soie par l'Asie centrale ;
- routes terrestres vers les bulgares de la Volga, le monde scandinave (peaux et fourrures), Constantinople, l'Occident chrétien, le Soudan… Le monde musulman importe également des esclaves (slaves, turcs, africains) et des matières premières (bois de construction, fer) et exporte des matières première (alun) et des produits de l’artisanat (tissus, objets de verre et de métal, entre autres). La ville aurait alors compté jusqu’à un million d’habitants. Elle a été ravagée par les Mongols en 1258. Pendant les guerres du Golfe, elle a subi deux séries de bombardements en 1991 et en avril 2003 qui l'ont partiellement détruite. Les musées qui la composent ont fait l'objet de pillage en 2003 et en 2004 lors de son occupation par les forces armées américaines. Un évènement récemment survenu est documenté dans l'article Bousculade sur le pont Al-Aïmah.

Monuments

- Collège al-Mustansiriya ()
- Mains de la victoire (XXe siècle)
- Mosquée Mirjan ()
- Palais abbasside ()

Étymologie

Le mot « Bagdad » vient du persan et signifie « don de Dieu » (de dâd et Bagh, cf. russe Bog). Ce nom est aussi un ancien mot arabe qui signifie le « château des aigles ». Il est à l'origine du mot baldaquin, qui désigne d'abord la soie de Bagdad (Baldac ou Baudac au Moyen Âge), puis une tenture de lit. yyyyyy

Voir aussi

Liens externes

- [http://maps.google.com/maps?ll=33.384440,44.322968&spn=0.243470,0.481407&t=k&hl=fr Bagdad vue du ciel sur Google Maps]
- Catégorie:Mégapole ja:バグダード ko:바그다드 nb:Bagdad

Algèbre

ko:대수학 ms:Algebra ja:代数学 simple:Algebra Catégorie:Mathématiques Catégorie:Algèbre L'algèbre est la branche des mathématiques qui étudie les structures algébriques, indépendamment de la notion de limite (rattachée à l'analyse) et de la notion de représentation graphique (rattachée à la géométrie). Elle doit son nom au titre d'un ouvrage du mathématicien Al-Khawarizmi où il reprend dans la première partie du les travaux de Diophante d'Alexandrie () qui, le premier avait imaginé de représenter une inconnue par un symbole nommé arithme. Le titre de cet ouvrage (Al-jabr wa'lmuqabalah) a donné le mot moderne Algèbre (du mot arabe al-jabr, voulant dire « la réunion », « la reconstruction » ou « la connexion »). Jusqu'au , l'algèbre peut être globalement caractérisée comme une généralisation et une extension de l'arithmétique ; elle consiste principalement en l'étude de la résolution des équations algébriques, et la codification progressive des opérations symboliques permettant cette résolution. A noter que c'est au Français François Viet (1540-1603) que l'on doit l'idée de noter les inconnues à l'aide de lettres . Les Babyloniens savaient déjà résoudre l'équation du 2 degré (ou équation quadratique). Diophante, au IV siècle, développe la méthode de résolution en nombres rationnels et découvre que le discriminant doit être le carré d'un nombre rationnel. Après une longue période de stagnation en Europe, au cours de laquelle les mathématiciens arabes (Al-Khawarizmi, Abu Kamil) découvrent la numération de position et jettent les premières bases du calcul algébrique, les mathématiciens italiens du XVI siècle (del Ferro, Tartaglia et Cardan) résolvent l'équation du 3 degré (ou équation cubique). Ferrari, élève de Cardan, résout l'équation du 4 degré (ou équation quartique), et la méthode est perfectionnée par Bombelli. À la fin du siècle, le français Viète découvre que les fonctions symétriques des racines sont liées aux coefficients de l'équation polynomiale. Au XVII siècle, les mathématiciens utilisent progressivement des nombres « fictifs », tels que la racine carrée de -1, pour parvenir à calculer les racines non réelles de leurs équations. Cette « extension » des nombres réels (qui prendra le nom de nombres complexes) amène d'Alembert (en 1746) et Gauss (en 1799) à énoncer et démontrer le théorème fondamental de l'algèbre (ou théorème de d'Alembert-Gauss) : toute équation polynomiale de degré n en nombres complexes a exactement n racines (comptées chacune avec sa multiplicité). Ou, sous sa forme moderne : le corps

\ _\mathbb C

des nombres complexes est algébriquement clos. Le XIX siècle s'intéresse désormais à la calculabilité des racines, et en particulier à la possibilité de les exprimer par des formules générales à base de radicaux. Les échecs concernant les équations de degré 5 amènent le mathématicien Abel (après Vandermonde, Lagrange et Gauss) à approfondir les transformations sur l'ensemble des racines d'une équation. Évariste Galois (1811 - 1832), dans un mémoire fulgurant, introduit pour la première fois la notion de groupe (en étudiant le groupe des permutations des racines d'une équation polynomiale) et aboutit à l'impossibilité de la résolution par radicaux pour les équations de degré supérieur ou égal à 5. Dès lors, l'algèbre moderne entame un parcours fécond : Boole crée l'algèbre qui porte son nom, Hamilton invente les quaternions, et les mathématiciens anglais Cayley, Hamilton et Sylvester étudient les structures de matrices. L'algèbre linéaire, longtemps restreinte à la résolution de systèmes d'équations linéaires à 2 ou 3 inconnues prend son essor avec le théorème de Cayley-Hamilton (« Toute matrice carrée à coefficients dans

\ _\mathbb R

\ _\mathbb C

divise son polynôme caractéristique »). S'ensuivent les transformations par changement de base, la diagonalisation et la trigonalisation des matrices, et les méthodes de calcul qui nourriront, au XX siècle, la programmation des ordinateurs. Parallèlement, Kummer généralise les structures galoisiennes et étudie les structures de corps et d'anneau. Dedekind définit les idéaux (déjà entrevus par Gauss) qui permettront de généraliser et reformuler les grands théorèmes d'arithmétique. L'algèbre linéaire se généralise en algèbre multilinéaire et algèbre tensorielle. Au début du XX siècle, sous l'impulsion de l'allemand Hilbert et du français Poincaré, les mathématiciens s'interrogent sur les fondements des mathématiques : logique et axiomatisation occupent le devant de la scène. Peano axiomatise l'arithmétique, puis les espaces vectoriels. La structure d'espace vectoriel et la structure d'algèbre sont approfondies par Artin en 1925, avec des corps de base autres que

\ _\mathbb R

\ _\mathbb C

et des opérateurs toujours plus abstraits. On doit aussi à Artin, considéré comme le père de l'algèbre contemporaine, des résultats fondamentaux sur les corps de nombres algébriques. Les corps non commutatifs amènent à définir la structure de module sur un anneau et la généralisation des résultats classiques sur les espaces vectoriels. L'école française « Nicolas Bourbaki », emmenée par Weil, Cartan et Dieudonné, entreprend de réécrire l'ensemble des connaissances mathématiques sur une base axiomatique : ce travail gigantesque commence par la théorie des ensembles et l'algèbre dans le milieu du siècle, et confirme l'algèbre comme langage universel des mathématiques. Paradoxalement, alors que le nombre de publications suit une croissance exponentielle à travers le monde, alors qu'aucun mathématicien ne peut prétendre dominer qu'une toute petite partie des connaissances, les mathématiques n'ont jamais autant paru unifiées qu'aujourd'hui.

Voir aussi

- Algèbre linéaire
- Algèbre multilinéaire
- Algèbre tensorielle
- Algèbre sur un corps
- Algèbre sur un anneau
- Algèbre de Boole
- Tribu (mathématiques)
- Algèbre de Clifford
- Algèbre de Lie
- Calcul algébrique (mathématiques élémentaires)
- Clôture algébrique
- Courbe algébrique
- Élément algébrique
- Entier algébrique
- Équation
- Équation algébrique
- Équation polynomiale
- Extension algébrique
- Géométrie algébrique
- Mesure algébrique
- Nombre algébrique
- Structure algébrique
- Surface algébrique
- Topologie algébrique

Bibliographie

- Adolf P. Youschkevitch, Les Mathématiques Arabes, VIIIe-XVe siècles, Ed. VRIN, Paris - 1976

Liens externes

- [http://members.aol.com/OlivThill/algebra.htm Sur l'origine de l'algèbre]
- [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Al-Khwarizmi.html Sur Al-Khwarizmi, mathématicien (en anglais)]
- [http://www.les-mathematiques.net/]

Moyen Âge

Le Moyen Âge occidental est la période de l'Histoire située entre l'Antiquité et la Renaissance. Traditionnellement, on fait commencer le Moyen Âge en 476, à la déposition du dernier empereur romain d'Occident par un chef barbare et il s'achève en 1453, avec la prise de Constantinople et la chute de l'Empire romain d'Orient, ou en 1492, date de la découverte de l'Amérique par Christophe Colomb et de la fin de la Reconquista en Espagne. Le terme « Moyen Âge » a été inventé par Flavio Biondo de Forlì. En français, l'adjectif correspondant à Moyen Âge est médiéval. Moyenâgeux, quant à lui, est péjoratif. L'histoire du Moyen Âge, en tant que discipline, se nomme aussi « Histoire médiévale ». Un historien qui étudie le Moyen Âge est appelé « médiéviste ». péjoratif

Précisions lexicales

Les limites exactes du Moyen Âge font l'objet de débats entre historiens. Les différentes périodes de l’Histoire ont eu des significations précises et pleines de sens à un moment donné, mais qui, au fil du temps, sont devenues des conventions. Le terme « Moyen Âge » provient d’une expression latine « medium aeuum » qui désigne une période intermédiaire entre deux événements. Exemples : entre-deux-guerres, interrègne. Cette expression classique est reprise au par les humanistes et notamment par Pétrarque (« prince des humanistes ») en 1373. Elle possède à ce moment deux significations :
- Acception philosophique désignant une opposition entre le latin classique et le médio latin, le latin du Moyen Âge. Ce dernier doit être rejeté pour revenir au latin de l’Antiquité, qui, lui, est plus pur.
- Sens culturel et artistique désignant une opposition entre l’art antique et celui du Moyen Âge, art appelé au « art gothique ». Pour les humanistes, le Moyen Âge est une période barbare entre deux autres périodes d’Antiquité. Ils préconisent la pureté antique. La diffusion de ce terme est assez lente et se fait dans un premier temps chez les intellectuels, car il est en latin. Par après, il perdra progressivement de sa connotation négative. Au (vers 1640), le terme sera employé en français et il sera dès lors grandement diffusé. En 1687, Christophe Keller est le premier à périodiser l’histoire dans son petit manuel d’histoire, Histoire du Moyen Âge depuis le temps de Constantin le Grand jusqu’à la prise de Constantinople par les Turcs donc, du au . Pour lui, le terme n’a aucune connotation négative. Au , il se répand dans toute l’Europe cultivée. En 1798, il entre dans le dictionnaire de l'Académie française sous la définition « temps qui s’est écoulé depuis Constantin jusqu’à la renaissance des Lettres au ». Au , il se répand partout même dans la langue commune pour plusieurs raisons :
- l'installation de l’enseignement primaire obligatoire ;
- le développement du romantisme ;
- le développement de la philosophie et de l’Histoire dans les universités, principalement en Allemagne : Monumenta Germaniae Historia. Le est couramment appelé « siècle de l’Histoire ». Notre notion de critique historique est le fruit d’une démarche allemande. Au , l’engouement pour le Moyen Âge diminue. Ce terme a été exporté des frontières de l’Europe et désigne actuellement une période dans la vie d’une société, à savoir un certain degré de société caractérisé par une société agraire dominée par une caste de guerriers. Par exemple, au Japon, la culture de riz dirigée par les samouraïs, eux-mêmes dirigés par les shoguns jusqu’au milieu du où commence l’ère Meiji.

Quelles limites pour le Moyen Âge ?

Limites extrêmes

ère Meiji] Afin de découper l'histoire en périodes cohérentes, les historiens ont tenté de s'appuyer sur des événements majeurs illustrant ou provoquant une modification profonde de la politique et de la société. Mais il est rare qu'il y ait un consensus sur telle ou telle date pour définir une limite de période. C'est le cas en ce qui concerne les limites du Moyen Âge, particulièrement son commencement. Les plus communément admises vont de la chute de l'Empire romain d'Occident en 476, jusqu'à 1492, date de la découverte de l'Amérique par Christophe Colomb et de la chute de Grenade (fin de la Reconquista). Mais d'autres dates repères sont possibles, pour le début du Moyen Âge :
- le déménagement de la capitale de l'Empire romain de Rome à Constantinople (330) marque le début de sa division ;
- la conversion de l'empereur Constantin I au christianisme — survenue à sa mort, en 337 – annonce le triomphe de cette religion aux dépends du paganisme antique ;
- la bataille d'Andrinople (378) sanctionne l'avènement de la cavalerie lourde et le déclin des troupes d'infanterie, marquant ainsi le commencement d'un millénaire de supériorité de la cavalerie sur l'infanterie ;
- la reconnaissance par Théodose du christianisme comme religion d'État (396), qui correspond également à la date de la séparation entre l'Empire romain d'Occident et l'Empire romain d'Orient, qui survit au Moyen Âge ;
- le sac de Rome par les Wisigoths d'Alaric Ier (410) marque la supériorité des envahisseurs barbares. envahisseurs barbares] Ces différentes options indiquent combien une césure événementielle claire est difficile à trouver pour marquer le début du Moyen Âge : par certains traits, l'Empire romain avait déjà fortement changé avant la fin de l'Antiquité. Par exemple, les empereurs du abandonnent la toge et les tuniques classiques, adoptant les braies des légionnaires, majoritairement d'origine celte ou germanique. C'est également au que l'amphore est abandonnée pour le tonneau, bien plus économique. Enfin, c'est à cette époque que nombre de peuples barbares deviennent fédérés, établissant des relations durables avec le monde romain. L'Empire romain avait donc déjà perdu certains caractères antiques. L'unité politique, monétaire, linguistique et culturelle du monde romain sur le grand territoire que représente la Méditerranée a subi trois disloquations: # sur l'axe Est-Ouest, puisque la division d'abord uniquement administrative de l'Orient et de l'Occident est devenue très politique; # sur l'axe Nord-Sud, puisque les Vandales, puis les Arabes conquièrent l'Afrique du Nord; # interne, puisque l'Europe se scinde en plusieurs entités nationales. Aussi, certains historiens – en premier lieu l'historien allemand A. Riegl au début du – ont repoussé la limite d'une période dénommée « Antiquité tardive » (Spätantike), en mettant justement l'accent sur la permanence de traits caractéristiques de la fin de l'Antiquité jusqu'au règne de Charlemagne. Une telle conception s'est d'abord imposée chez les historiens des « franges » du monde romain, où sa pertinence était plus évidente. À l'inverse, en France, il fallut attendre 1977 avec Henri-Irénée Marrou (dans Décadence romaine ou Antiquité tardive ?) pour qu'on s'interroge sur l'utilité d'une telle période, notamment pour mettre fin à l'appellation péjorative de « Bas Empire ». Et aujourd'hui encore, histoire ancienne et médiévale se partagent la connaissance des temps qui vont du au . Pour la fin du Moyen Âge, d'autres dates que 1492 ont été proposées, mais fondamentalement elles ne remettent pas en cause la limite supérieure de la période :
- la chute de Constantinople (1453), qui est la fin de l'Empire byzantin et l'entrée de l'empire ottoman (turc) sur l'échiquier européen (utilisée en histoire de l'art surtout) ;
- l'invention de l'imprimerie à caractères métalliques mobiles par Gutenberg (1456), dont aurait découlé une révolution culturelle selon Marshall McLuhan dans La Galaxie de Gutenberg (privilégiée par l'historiographie allemande)
- la promulgation par Martin Luther de ses 95 thèses (1517), qui marque les débuts de la Réforme qui fera voler en éclats la relative unité religieuse de l'Occident médiéval. La fin du Moyen Âge est également marquée par l'instauration d'États ultra-centralisés gouvernés par les grandes monarchies: ;France: François I (1515-1547) ;Espagne: Charles Quint (1515-1555) ;Angleterre: Henri VIII (1509-1547) ;Empire ottoman: Soliman le Magnifique (1520-1566)

Découpages internes

Soliman le Magnifique] Le Moyen Âge est traditionnellement subdivisé entre Haut Moyen Âge et Bas Moyen Âge. Cependant, les historiens proposent d'autres découpages :
- Régine Pernoud (1) : Le Haut Moyen Âge (de la chute de l'Empire romain à Charlemagne), l'époque carolingienne, l'âge féodal (milieu du à la fin du ) et le Moyen Âge pour les et s.
- Jacques Le Goff (2) : L'Antiquité tardive (jusqu'au ), le Moyen Âge central (An Mil-1348, la Grande Peste) et le Moyen Âge tardif (guerre de Cent Ans-Réforme).
- Ivan Gobry (3) distingue le Moyen Âge ancien (du au ), pendant lequel les peuples se déplacent ainsi que les frontières. C'est aussi la période d'expansion des Francs, avec l'apogée de l'empire de Charlemagne (800-814). Puis arrive le Moyen Âge récent ( au ) au cours duquel ont lieu la Reconquista en Espagne, la constitution puis l'effondrement de l'État Plantagenêt et l'affirmation de la dynastie capétienne.
- Robert Fossier (4) : Les Mondes Nouveaux (350-950), l'Eveil de L'Europe (950-1250) où les influences du monde byzantin et musulman demeure prépondérant dans l'occident chrétien qui se cherche et qui construit la féodalité , puis Le Temps des Crises (1250-1520) de la perte des possessions en Terre Sainte aux Guerres de Religions en passant par la conquête du Nouveau Monde. Il en ressort que l'appréciation de ces limites est fortement liée aux références géographiques ou thématiques de l'historien. Cependant, la distinction d'une période centrale qui s'étendrait des environs de 1000 jusqu'à la grande épidémie de peste en 1348 paraît pertinente en raison de la permanence de traits de civilisation majeurs et de l'avènement d'une société fortement structurée, prospère et en expansion dans l'Occident d'alors. L'expression « civilisation médiévale » (s'agissant de l'Occident et sans autre précision) correspond à cette période. Voir aussi : Antiquité tardive

Principales caractéristiques de l'Occident médiéval

Antiquité tardive

La royauté médiévale

À l'époque de la disparition du dernier empereur d'Occident (), les rois barbares ont implanté une nouvelle forme de pouvoir, jetant les bases de la royauté médiévale. Le roi du Moyen Âge prend sous sa protection son peuple : pendant le haut Moyen Âge et encore au Moyen Âge classique, les sources écrites évoquent le roi des Francs (rex francorum), par exemple. Quelques-uns de ces rois sont sacrés (le roi des Wisigoths, le roi des Francs à partir de 752). Et surtout, le roi du Moyen Âge gouverne en étroite collaboration avec le clergé chrétien. Le pape renforce sa puissance et devient un véritable monarque.

La vassalité

pape]] La vassalité existait déjà pendant le Haut Moyen Âge. Le système évolue en relations féodo-vassaliques au cours du . La cérémonie suit des règles très précises. Le vassal avance devant son futur seigneur la tête nue en signe de respect. Il s'agenouille, devant lui, pour lui exprimer son humilité, les mains jointes. Le seigneur les prend entre les siennes et le relève. Le jeune vassal reçoit un legs (le plus souvent une terre ou un droit de prélever des taxes sur un pont par exemple). Il jure, sur les saintes écritures ou sur une relique, sa fidélité au seigneur.

Les progrès techniques

- Le moulin hydraulique se répand dans l'Occident médiéval dès l'époque carolingienne.
- L'introduction de la jachère, puis l'assolement triennal permettent d'accroître la productivité de l'agriculture.
- Les rendements s'améliorent à partir de 1000 grâce à la diffusion d'outils en fer et à l'essor de la charrue.
- La technique d'attelage : le collier d'épaules remplace le « collier de cou » et permet de tirer des charges plus lourdes.

La ville

charrue
- La vocation militaire de la ville décline au profit du château-fort mais elle-même s'enferme derrière des murailles.
- La civilisation urbaine (mise à mal durant l'Antiquité tardive) connaît un nouvel essor au Moyen Âge central. La ville redevient le lieu du pouvoir et les capitales se développent (Paris sous Philippe Auguste).
- Les villes deviennent des centres de production et connaissent l'émergence d'une nouvelle couche sociale : la bourgeoisie ; auparavant, les villae (grands domaines ruraux) jouaient ce rôle (de l'Antiquité jusqu'à la fin de la période carolingienne).

L'éducation et la culture

- Au temps de Charlemagne (mort en 814), la renaissance carolingienne entend restaurer le latin classique. L'abbaye de Saint-Martin de Tours constitue l'un des foyers de cette renaissance, et grâce à l'action d'Alcuin. La caroline est mise au point pour faciliter l'écriture. L'empereur s'attache à réformer les écoles. On y apprend les arts libéraux.
- Les monastères sont pendant longtemps les dépositaires de la culture écrite au Moyen Âge. La règle bénédictine impose en effet aux moines le travail intellectuel : les copistes travaillent à la production des livres dans les scriptoria. Les écoles monastiques sont cependant concurrencées par les écoles épiscopales au , puis par les universités au . Voir l'article détaillé : Éducation au Moyen Âge.
- Dès le , la scolarisation des enfants se développe dans les villes, y compris celle des filles (auparavant l'enseignement était réservé aux clercs). Éducation au Moyen Âge

La guerre

Éducation au Moyen Âge
- Le Moyen Âge central est l'âge de la chevalerie, marqué par la supériorité de la cavalerie sur l'infanterie. Le service armé, appelé ost, fait partie des obligations du vassal envers son seigneur.
- À la fin du Moyen Âge, les armes de tir (arc long anglais, puis armes à feu) annoncent la fin de la chevalerie.
- Les premiers châteaux forts en pierre apparaissent à la fin du . Un grand nombre de villes médiévales sont entourées de remparts (Paris, Rouen, Carcassonne).

L'art

- L'art médiéval est essentiellement un art religieux : aux églises romanes succèdent les grands chantiers des cathédrales gothiques.
- L'art des manuscrits s'est aussi développé durant le Moyen Âge avec des enluminures et des miniatures en marge des textes sacrés ou liturgiques.
- Voir aussi : mobilier médiéval

La religion chrétienne

Le christianisme est au cœur de l'histoire médiévale : il modèle l'idéologie de la période, principalement en raison de son universalisme et à cause de la montée en puissance de l'Église catholique organisée autour de la papauté de Rome. Les frontières de l'occident médiéval qui échappe à toute unité politique, se confondent aussi avec celles de la chrétienté. Devenu religion d'État dans l'Empire romain pendant l'Antiquité tardive (à partir de l'édit de Milan, en 313), le christianisme, en effet, se diffuse au haut Moyen Âge à partir de plusieurs foyers : l'Irlande, les royaumes francs, les royaumes anglo-saxons et Rome. La dilatation de la chrétienté s'accompagne de la mise en place de la hiérarchie ecclésiastique — lÉglise en venant à désigner cette dernière — et la papauté, qui se hisse à la tête de celle-ci, devient un des principaux pouvoirs en occident : l'évêque de Rome, dont l'autorité spirituelle s'appuie sur la primauté du siège de l'apôtre Pierre, devient le souverain pontife. Cette évolution est lente (V – ) et se heurte à de nombreux obstacles :
- en premier lieu, à des résistances internes : les dogmes de l'Église catholique, formulés lors des conciles, se définissent progressivement et doivent triompher des hérésies (l'arianisme des Wisigoths demeure la foi des rois de la péninsule ibérique jusqu'au ; celui des Lombards menace un temps — jusqu'au milieu du — Rome de disparition). Bientôt, le christianisme romain doit s'imposer face à Byzance, notamment pendant la crise iconoclaste ( 726 – 843). Au , la rupture avec le christianisme oriental est consommée, mettant fin au problème. Presque aussi importante est la question de l'adoption d'une liturgie unique : les Églises nationales possèdent leurs propres traditions qui ne se fondent que progressivement : la liturgie irlandaise, qui fixe la fête de Pâques à une date différente, l'emporte dans les îles britanniques jusqu'au synode de Whitby (664). En développant la mission chrétienne (à partir de 610) et en tissant des relations privilégiées avec les souverains « barbares » (notamment, en s'appuyant sur les rois anglo-saxons et sur l'expansion des Francs en Germanie), Rome parvient partout à unifier les traditions de l'Église et dans le même temps, à affirmer son rôle à la tête de celle-ci, sauf chez les Slaves qui demeurent dans la sphère d'influence byzantine.
- Des résistances externes s'opposent à l'influence de la papauté, parce que les pouvoirs laïcs entendent s'immiscer dans les affaires de l'Église et diriger celle-ci dans leur aire d'influence : les rois lombards, tout d'abord, veulent soumettre l'Église romaine. Aussi, le pape fait appel aux Carolingiens (milieu du ), mais ces derniers, comme leurs prédécesseurs, ne se privent pas pour distribuer les terres de l'Église à des laïcs. Lorsque l'Empire chrétien renaît en occident (800), le rapport entre les pouvoirs de l'Empereur et du pape ne sont pas définis autrement qu'en termes de rapport d'influences. Il tourne dans un premier temps au détriment de la papauté, alors que l'Église, mais aussi le pouvoir impérial traverse à tous points de vue une crise grave, au , et il faut attendre la réforme grégorienne (seconde moitié du – premier tiers du ) pour que le pape n'affronte l'Empereur germanique, lors de la querelle des Investitures. Cette dernière, qui s'achève sur un compromis, est déterminante pour assurer l'indépendance du siège apostolique. Au , enfin, la papauté triomphe, grâce à son arme principale : l'excommunication, à son rôle dans l'essor de la chrétienté, à travers la croisade, mais aussi grâce à son pouvoir temporel et grâce à ses richesses. Le pape Innocent III applique lors de son « règne » ((1198 – 1216)) les principes de la théocratie pontificale, qu'avaient formulés pour la première fois les Dictatus Papae (1075). L'essor de l'Église ne peut être dissocié de l'effort de christianisation de la société et des consciences : cette dernière demeure un combat constant durant tout le Moyen Âge. Selon les conceptions chrétiennes, conformément au modèle des apôtres dans les évangiles, l'Église conçue comme l'assemblée des fidèles unis dans la foi doit se répandre « jusqu'aux confins de la terre ». Pour cela, elle peut s'appuyer sur le soutien de ses membres influents — comme en Germanie, où elle accompagne le conquérant franc — mais surtout, elle doit reposer sur un acte d'adhésion volontaire et, en cela, elle ne peut compter que sur les effets de la prédication : cet état de fait est à l'origine du double visage de l'expansion chrétienne au Moyen Âge : à la fois pacifique et d'ordre spirituel, mais aussi marquée par la guerre et par la violence. Au haut Moyen Âge, les missions chrétiennes de prédicateurs isolés, appuyés par Rome lorsqu'elle le peut, repoussent avec succès les limites politiques de la chrétienté en amenant à la conversion des rois barbares et en s'appuyant sur l'influence des rois chrétiens — comme les rois francs, dont l'adhésion au christianisme remonte à Clovis (496) — mais leur préoccupation dernière, qui est de faire entendre le message du Christ aux peuples des derniers, demeure un objectif des plus difficiles à quantifier. Elles sont le plus souvent l'œuvre de moines, comme saint Colomban en Gaule, saint Augustin de Canterbury dans le Kent ou saint Boniface en Frise. À cette fin, l'Église se heurte également à des résistances à l'intérieur même de la chrétienté, où le clergé épiscopal est à la tête de l'encadrement des fidèles, surtout dans les campagnes : symptomatique, le mot « païen » — paganus, celui qui habite la campagne — désigne celui qui pratique l'ancienne religion polythéiste avant de désigner tout ce qui n'est pas chrétien. Le respect de la morale chrétienne, en particulier, fait l'objet d'injonctions des conciles, des synodes mérovingiens, puis carolingiens. Ces derniers ne cessent de rappeler les interdits, notamment l'esclavage, de condamner les coutumes païennes et de tenter de limiter la violence privée. Pendant la période féodale, les synodes s'attachent à lutter contre les violences seigneuriales (Paix de Dieu, trêve de Dieu), la simonie, le nicolaïsme, et enfin contre les hérésies. Ces dernières se développent sporadiquement (autour de l'an Mil) et, très rarement, s'installent durablement comme en Languedoc, avec le Catharisme ou en Bohême, avec Jean Hus (1369 – 1415), etc. À partir du , la papauté peut s'appuyer pour cette tâche sur les ordres mendiants, franciscains et surtout, dominicains. Mais la tentation du recours à la force est grande et la violence caractérise souvent, en dernier recours, le combat pour l'unité de l'Église, qu'implique sa première définition : elle marque la « christianisation » forcée de la Saxe par Charlemagne (seconde moitié du ), donne lieu à la croisade des Albigeois, à la naissance du tribunal de l'Inquisition sous le pape Grégoire IX (1227 – 1241), aux guerres hussites, etc. Enfin, un aspect majeur de la religion au Moyen Âge est son rôle dans les arts et la culture : dès l'Antiquité tardive, en effet, la culture latine classique se réfugie dans les monastères, où l'on continue à enseigner le trivium et le quadrivium. Face à l'illétrisme du peuple et des aristocrates barbares, ces derniers et, plus largement, l'Église, demeurent le cadre par excellence où survit l'Écrit : les lettrés, théologiens, hagiographes et chroniqueurs qui témoignent de leur temps, sont des moines ou des évêques. Certaines idées héritées de la Rome antique, comme celle de l'État, qui disparaît au , y sont conservées et pénétrées par le christianisme. À travers la renaissance carolingienne, portée par Alcuin, la réforme clunisienne, la réforme grégorienne, puis avec la création des ordres mendiants et l'essor des Universités, au , les renouveaux culturels et spirituels émanent des gens de religion. L'art roman qui se diffuse avec Cluny et l'art gothique, qui naît à Saint-Denis avant de gagner l'Europe entière sont des arts religieux. Il faut en fait attendre la fin du Moyen Âge ( – ) pour qu'une culture profane se développe à nouveau en France, dans l'entourage royal des légistes et en raison des démêlés du roi avec la papauté. Enfin, en toute logique dans ce contexte, les textes à partir desquels se forme l'idéologie — en particulier de la société et du pouvoir — au Moyen Âge sont les sources chrétiennes : l'Ancien testament donne son cadre à la royauté médiévale (Charlemagne est comparé au roi David), les œuvres des Pères de l'Église (notamment, saint Jérôme et, surtout, saint Augustin avec La cité de Dieu) encadrent les rapports sociaux et enfin, le Nouveau testament, dont les Évangiles fournissent à la fois l'exemple de vie apostolique qui anime les ordres mendiants et le terreau de l'humanisme à travers l'Incarnation, se trouve à l'origine du renouveau idéologique qui marque la fin de la période. Aussi, dans une large mesure, la religion chrétienne inspire et modèle la société médiévale en lui fournissant à la fois sa hiérarchie (au sommet de laquelle se trouve le roi, intermédiaire avec le Christ qui règne sur la hiérarchie céleste) et la première de ses institutions : l'Église, qui supplée à la disparition de l'État.
La société
La société du haut Moyen Âge est essentiellement rurale et caractérisée à tous les niveaux par l'existence de liens de dépendances personnelles. Ces derniers, qui se sont substitués à l'ordre public, prolongent pour une part le clientélisme antique et relèvent d'autre part d'une conception chrétienne nouvelle de l'ordre social. Notamment, l'esclavage est interdit par l'Église : le servage occupe la place qu'il laisse vacante et le même mot qui désignait l'esclave antique (servus) désigne à travers le serf médiéval des conditions sociales très différentes. Notamment, le serf n'est pas juridiquement un bien meuble, propriété de son maître, mais un homme dépendant d'un seigneur. Aux niveaux supérieurs de la hiérarchie sociale, les relations entre les hommes libres sont caractérisées par les liens de vassalité : le vassal doit aide et conseil (auxilium et consilium) à son suzerain, c'est-à-dire à l'homme auquel il a prêté serment de fidélité. De tels liens impliquent un certain nombre de devoirs, au nombre desquels le plus important est, à l'origine (sur le modèle carolingien du ), le service militaire dû au suzerain (l'ost) : les chevaliers (milites) sont des nobles. En parallèle, le vassal reçoit quant à lui un fief (beneficium) de son suzerain : il s'agit le plus souvent du droit de jouir d'une terre, mais parfois, plus souvent à la fin du Moyen Âge, d'une bourse ou d'une rente. Le fief, dont les lointaines origines se trouvent dans les charges ou honneurs conférés par le souverain carolingien à ses compagnons d'armes, tend à devenir héréditaire au . Ces liens de dépendances ont pour conséquence principale une forte hiérarchisation sociale. Différents critères divisent également la société médiévale :
- d'ordre moral ; selon les conceptions du clergé, la société idéale est composée de trois ordres qui se distinguent par le mode de vie : les moines, les clercs et le reste des laïcs. Au sein de ces derniers, l'Église distingue encore ceux qui sont mariés de ceux qui sont vierges.
- D'ordre fonctionnel ; à la précédente division se superpose du jusqu'au une autre division tripartite : elle rassemble le clergé et les moines : « ceux qui prient » (oratores), la noblesse (nobiles) : ceux qui combattent (bellatores, pugnatores) et le peuple : « ceux qui travaillent » (laboratores). :Avec l'essor urbain, à partir du , une nouvelle classe, la bourgeoisie, se développe au sein du peuple : elle tire son nom des « bourgs » nouvellement créés, où vivent ses membres, et rassemble essentiellement les riches artisans (notamment les bouchers) et des rentiers.
- D'ordre juridique ; les seigneurs (domini) se caractérisent par le fait qu'ils détiennent le « pouvoir de juger et de contraindre » (le pouvoir banal, ou ban) les hommes de leur seigneurie (le terme désigne à la fois le pouvoir lui-même et le lieu ou les personnes auxquels il s'applique). S'y attachent un certain nombre de privilèges : le droit de lever l'impôt directement (la taille), d'exiger des corvées, le droit de moudre le grain et de cuire le pain, le droit de péage, etc. Les seigneurs ne doivent pas être confondus avec la noblesse : les abbayes et l'Église constituent également de grandes seigneuries (voir seigneurie ecclésiastique). :Au sein du peuple, dans les campagnes, les hommes libres qui exploitent un alleu ou une tenure (terre attribuée contre un loyer) coexistent avec les serfs (servi) : la dépendance juridique, sociale et économique de ces derniers par rapport à leur seigneur possède un caractère héréditaire (servage personnel), ou bien ce caractère est lié à la terre qu'ils exploitent (servage réel). :Toutefois, les contraintes exactes qui pèsent sur les hommes de la seigneurie varient selon la région et selon l'époque considérées. :Au départ expression d'un lien personnel très fort entre Loire et Rhin, le servage y devient progressivement le signe d'une condition sociale inférieure. :À partir du , des chartes de franchises octroyées aux villageois permettent la constitution de ces derniers en « commune » et l'accession de serfs au statut d'hommes libres. Ce phénomène s'explique d'abord par de nouveaux défrichements (fondation d'essarts, de bastides, etc.), pour lesquels les seigneurs ont besoin de bras, quitte à renoncer à une partie de leur ban. Il touche en premier lieu les grands centres de peuplement, puis les villages voisins.
- D'ordre économique ; avec l'affaiblissement des derniers Carolingiens, les princes se sont accaparés la majorité des terres. Aussi, à la fin du , le roi est moins riche que les grands féodaux qui entretiennent de nombreux vassaux et frappent leur monnaie. À la fin de la période féodale, l'essor urbain et les progrés techniques bouleversent l'ordre social : au début du , le sort économique de la bourgeoisie est plus enviable que celui que connaissent les hommes libres des campagnes reculées. Notamment, comme pour l'ensemble de la population urbaine, la dépendance de cette nouvelle classe à l'égard des seigneurs est bien moins importante que dans les campagnes ; toutefois, le développement du commerce avec les grandes foires médiévales permet à une riche paysannerie d'émerger dans les campagnes.
Voir aussi

Articles connexes

- [http://fr.wikisource.org/wiki/Textes_m%C3%A9di%C3%A9vaux Textes médiévaux dans Wikisource]
- Liste des articles sur le Moyen Âge
- Le musée national du Moyen Âge (Paris - Thermes et hôtel de Cluny) ~ Troubadour
Articles traitant de sujets médiévaux
Troubadour
- adoubement
- Architecture militaire
- Architecture religieuse
- Armement médiéval
- Architecture gothique
- Architecture romane
- Cathédrale
- Châteaux et Châteaux forts
- Chevalerie
- Croisade
- Cuisine médiévale
- les grands défrichements
- Éducation au Moyen Âge
- Foires
- Guerre au Moyen Âge, Guerre de Cent Ans
- Littérature du Moyen Âge
- Musique du Moyen Âge
- Peste noire
- Flagellants
- Seigneur, Seigneurie
- Vassalité
Histoire médiévale par aire géographique
Vassalité]]
- Le Moyen Âge en Allemagne :
- Francs
- Saint Empire romain germanique
- La ville de Metz au Moyen Âge
- Le Moyen Âge en Espagne :
- La Reconquista (711-1492)
- Le Moyen Âge en France :
- Le Haut Moyen Âge : Clovis, les Mérovingiens, les Carolingiens, Charlemagne, les Capétiens, etc.
- Le Bas Moyen Âge : les Valois
- Le Moyen Âge en Suisse
- La Suisse au Haut Moyen Âge (476-887)
- La Confédération des VIII cantons
- Confédération des VIII cantons (1353-1481)
- Le Moyen Âge en Méditerranée
- Le monde méditerranéen au
- Empire byzantin
- Trecento du italien
Musées et collections du Moyen Âge

- The Cloisters, à New York
- Musée national du Moyen Âge (hôtel de Cluny), à Paris
- ja:中世 simple:Middle Ages

Algorithme d'Euclide

L'algorithme d'Euclide est un algorithme pour déterminer le plus grand commun diviseur (P.G.C.D.) de deux nombres entiers. Il est décrit dans le livre VII des Éléments d'Euclide. L'algorithme n'exige pas de factorisation, qui est très fastidieuse quand on doit travailler sur de grands nombres entiers. Étant donnés deux entiers naturels a et b, on commence par tester si b est nul. Si oui, alors le P.G.C.D. est égal à a. Sinon, on calcule c, le reste de la division de a par b. On remplace a par b, et b par c, et recommence le procédé. Calculons par exemple, le pgcd de 1071 et 1029 (égal à 21) par cet algorithme avec les étapes suivantes: L'algorithme peut être traduit dans le langage Python comme suit: def pgcd(a,b): while b != 0: c = a%b a = b b = c return abs(a) (La valeur absolue (abs) est utilisée dans la dernière ligne, pour assurer que le programme traite correctement des données négatives; rappelons que le pgcd est un entier naturel. Exemple : pgcd(-7,0) = 7.) En mettant de côté les quotients obtenus à chaque étape de l'algorithme, on peut déterminer aussi des nombres entiers p et q tels que : :ap+bq = pgcd (a,b). Voir l'algorithme d'Euclide étendu. Ces algorithmes peuvent être utilisés dans n'importe quel contexte dans lequel toutes les divisions avec reste sont possibles. Ceci inclut les anneaux de polynômes à coefficients dans un corps, l'anneau des entiers de Gauss, et en général tout anneau euclidien. Au début, Euclide a formulé le problème géométriquement : comment trouver une «unité de mesure» commune pour deux longueurs de segments. Il procéda par soustractions répétées de la longueur du plus court segment sur la longueur du plus long. Ceci est illustré avec l'implémentation suivante dans le langage de programmation Python, qui travaille uniquement à partir de données strictement positives et est considérablement moins efficace que la méthode expliquée ci-dessus: def pgcd(a,b): while a != b: if a > b: a = a - b else: b = b - a return a

La Preuve de l'exactitude de l'Algorithme d'Euclide

La preuve de cet algorithme n'est pas difficile. Supposons que a et b soient des nombres entiers non tous deux nuls. Et supposons que le reste de la division euclidienne de a par b soit c. Alors l'on peut écrire

a = q.b + c\,

où q est le quotient de la division d'où

c = a - q.b\,

. Puisque l'on cherche

\varepsilon = pgcd(a,b)

alors l'on en déduit que

a\,

est un multiple d'

\varepsilon

b\,

est un multiple d'

\varepsilon

. Puisque

c = a - q.b\,

alors

c\,

est la somme (au sens général) de deux multiples d'

\varepsilon

donc

c\,

est multiple d'

\varepsilon

. On peut donc dire que pour trouver le plus grand commun diviseur de a et de b, il suffit de trouver le plus grand commun diviseur de b et de c. Cela justifie que l'on puisse continuer le procédé avec les nombres b et c. Puisque c est le reste de la division entière de a par b alors c est toujours plus petit que b, nous atteindrons c = 0 après un nombre fini d'étapes.

Exécution

En étudiant l'exécution de l'algorithme d'Euclide, il apparaît que les nombres qui exigent le plus d'étapes sont les nombres consécutifs de la suite de Fibonacci, et dans le pire des cas cela demande O(n) divisions, où n est le nombre de chiffres dans les données (voir la notation grand O).

Fractions continues

Les quotients successifs qui apparaissent quand l'algorithme d'Euclide est appliqué aux données a et b, sont précisément les nombres qui apparaissent dans la représentation sous forme de fraction continue de a/b. Considérons l'exemple de a = 1071 et b = 1029 utilisé ci-dessus. Voici le calcul avec les quotients soulignés (successivement 1, 24 et 2): :1071 = 1029 × 1 + 42 :1029 = 42 × 24 + 21 :42 = 21 × 2 + 0 De cela on tire : :

\frac = \mathbf + \frac

. Dans l'égalité précédente, le second membre s'appelle la fraction continue ou continuée du quotient 1071/1029. On peut en déduire les 3 approximations suivantes de la fraction, classées par ordre de précision croissante :
-

\frac = \mathbf = \frac

\frac = \mathbf + \frac = \frac

\frac = \mathbf + \frac = \frac

Cette méthode peut également être utilisée pour des nombres réels a et b ; comme dans le cas de deux entiers, la suite de quotients calculés représente la « décomposition en fraction continue » de a/b et fournit une suite d'approximations successives, de qualité croissante, du quotient a/b. Dans le cas où ce quotient est irrationnel, l'algorithme d'Euclide ne se termine pas et la suite des approximations obtenues est donc elle-même infinie ! nota : La décomposition en fraction continuée (et la série d'approximations successives correspondante) peut être appliquée, non seulement à un nombre réel quelconque, mais également à une fonction : cette démarche consiste à rechercher les approximants de Padé, dont on peut définir le principe comme suit : Au voisinage d'un point, le développement en série de Taylor d'une fonction donnée fournit un polynôme qui réalise une approximation de la fonction. Mais on peut également chercher une fraction rationnelle qui satisfasse les mêmes conditions que la partie polynômiale du développement de Taylor : l'égalité des dérivées de la fonction et de son approximation, jusqu'à un certain ordre donné. La comparaison de ces deux types de développements permet de très intéressants développements (voir par exemple la démonstration de l'irrationalité de ζ(3)). Euclide,Algorithme d' Euclide,Algorithme d' ko:유클리드 호제법 ja:ユークリッドの互除法

Donald Knuth

Donald Ervin Knuth (né le 10 janvier 1938 à Milwaukee, Wisconsin) est un informaticien de renom et professeur émérite en informatique à l'Université de Stanford. Knuth est mieux connu en tant qu'auteur de l'ouvrage The Art of Computer Programming (couramment appelé TAOCP), une des références dans le domaine de l'informatique, pour ne pas dire la bible (un mot cher à Knuth...) des informaticiens. Ce livre a créé un domaine : l'analyse d'algorithmes (i.e. comprendre via une analyse mathématique rigoureuse pourquoi telle méthode est plus efficace [temps, mémoire] qu'une autre, en moyenne ou en pire des cas). Knuth consacre désormais presque toute son énergie à achever les 7 volumes de TAOCP (la première édition du premier volume remonte à 1968 et seuls trois volumes ont paru). Il est le pionnier de l'algorithmique, et a fait de nombreuses contributions dans plusieurs branches de l'informatique théorique. Il est le créateur du système de composition de documents T_EX et du système de création de polices Metafont, et a inauguré le concept de programmation littérale. Knuth est une figure de l'informatique, connue pour son humour geek : il offre par exemple une prime de $2,56 pour chaque typo ou erreur découverte dans ses livres sous prétexte que « 256 pennies font un dollar hexadécimal ». (Sa prime pour les erreurs de 3:16 Bible Texts Illuminated est cependant de $3,16). Les numéros de version de T_EX convergent vers pi, c'est-à-dire que les versions se suivent de la sorte: 3, 3.1, 3.14, etc, les numéros de version de Metafont convergent eux vers e. Il a également mis en garde les utilisateurs d'un de ses logiciels ainsi: « Faites attention aux bugs dans ce code ; je n'ai fait que le prouver, je ne l'ai pas essayé » ([http://www-cs-faculty.stanford.edu/~knuth/faq.html source]). Knuth est également l'auteur de 3:16 Bible Texts Illuminated (1991), ISBN 0895792524, dans lequel il tente d'examiner la Bible par une analyse du chapitre 3, verset 16 de chaque livre. Chaque verset est accompagné d'une calligraphie contribuée par un groupe de calligraphistes dirigés par Hermann Zapf. L'ouvrage n'a pas été traduit en français. Il a reçu son bachelor's degree en mathématiques à la Case Western Reserve University. Il obtient ensuite son doctorat en mathématiques au California Institute of Technology en 1963. En 1968, il devient membre de la faculté de l'Université de Stanford, où il a préalablement reçu un curieux titre académique créé à son intention: Professor Emeritus of the Art of Computer Programming. En 1971, Knuth fut le premier à recevoir le prix ACM Grace Murray Hopper Award. Il a reçu de nombreuses autres distinctions honorifiques, entre autres le prix Turing, la National Medal of Science, la médaille John von Neumann (États-Unis) ainsi que le prix de Kyoto et la Médaille Franklin. Il est élu membre associé de l'Académie des sciences française en 1992 et membre de la Royal Society en 2003. Knuth apprécie la musique et aime en particulier jouer de l'orgue. Il dispose d'un orgue dans sa propre maison qu'il a construit lui-même. Knuth nie cependant tout talent particulier pour jouer de cet instrument. Il a cessé d'utiliser le courrier électronique en prétendant qu'il s'en était servi entre 1975 et le 1 janvier 1990, et que cela suffisait pour toute une vie. Il trouve plus efficace de tenir une correspondance en « mode batch », et y consacrer une journée tous les trois mois, en répondant par courrier « classique ». Il est marié à Jill Knuth, qui a publié un livre sur la liturgie. Ils ont deux enfants. Knuth a publié son premier article dans un magazine scolaire en 1957. À forte teneur humoristique, celui-ci a été publié dans le numéro de juin 1957 du magazine américain MAD. Sa [http://algo.inria.fr/AofA/Research/11-97.html première analyse d'algorithme] remonte à l'été 1962, il s'agissait d'étudier l'efficacité d'un algorithme de hachage, grande fut sa surprise de voir que ceci était relié à de très jolies mathématiques remontant à Ramanujan.

Liens externes

- [http://en.wikiquote.org/wiki/Donald_Knuth Wikiquote - Citations de Donald Knuth]
- [http://www-cs-faculty.stanford.edu/~knuth/ La page web de Donald Knuth à l'université de Stanford]
- [http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Knuth.html Une longue biographie de Knuth]
- [http://scpd.stanford.edu/knuth/ Vidéos de présentations avec Donald Knuth] Knuth, Donald Knuth, Donald Knuth, Donald Knuth, Donald ja:ドナルド・クヌース ko:도널드 카누스

Algèbre

\ _\mathbb C

\ _\mathbb R

\ _\mathbb C

\ _\mathbb R

\ _\mathbb C

Voir aussi

Bibliographie

- Adolf P. Youschkevitch, Les Mathématiques Arabes, VIIIe-XVe siècles, Ed. VRIN, Paris - 1976

Liens externes

Algorithme

ko:알고리즘 ja:アルゴリズム th:อัลกอริทึม Catégorie:Algorithmique On nomme algorithmique la science des algorithmes, visant à étudier les opérations nécessaires à la réalisation d'un calcul. On parle également de procédé ou de procédure. Une recette de cuisine constitue par exemple un algorithme parfaitement défini.

Historique

Antiquité

Les algorithmes dont on a retrouvé des descriptions exhaustives ont été utilisés dès l'époque des Babyloniens, pour des calculs concernant le commerce et les impôts. L'algorithme le plus célèbre est celui attribué à Euclide permettant de trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres.

Etude systématique

L'algorithmique a été systématisée par le mathématicien persan Al Kwarizmi (780-850), auteur d'un ouvrage décrivant des méthodes de calculs algébriques (ainsi que d'un autre introduisant le zéro des Indiens). Son nom donna au moyen-âge le nom "algorisme" qui devint algorithme avec lady Ada Lovelace, fille de lord Byron et assistante de Charles Babbage (1792-1871). On peut voir une allusion à la méthode algorithmique chez René Descartes dans le Discours de la méthode : « diviser chacune des difficultés que j'examinerois, en autant de parcelles qu'il se pourroit, et qu'il seroit requis pour les mieux résoudre. » Néanmoins, cette approche ne parle ni de boucles, ni d'itérations. Le substantif algorithmique désigne la méthode utilisant des algorithmes. Le terme est également employé comme adjectif. Un algorithme énonce une résolution sous la forme d'une série d'opérations à effectuer. La mise en œuvre de l'algorithme consiste en l'écriture de ces opérations dans un langage de programmation et constitue alors la brique de base d'un programme informatique. Les informaticiens utilisent fréquemment l'anglicisme implémentation pour désigner cette mise en œuvre. L'écriture en langage informatique est aussi fréquemment désignée par le terme « codage », qui n'a ici aucun rapport avec la cryptographie, mais qui se réfère au terme « code source » pour désigner le texte, en langage de programmation, constituant le programme. L'algorithme devra être plus ou moins détaillé selon le niveau d'abstraction du langage utilisé ; autrement dit, une recette de cuisine doit être plus ou moins détaillée en fonction de l'expérience du cuisinier.

Exemples d'algorithme

Il existe un certain nombres d'algorithmes classiques, utilisés pour résoudre des problèmes ou plus simplement pour illustrer des méthodes de programmation. On se réfèrera aux articles suivants pour de plus amples détails :
- Tours de Hanoï, problème célèbre illustrant la programmation récursive.
- Problème du tri, ou comment trier un ensemble de nombres le plus rapidement possible.
- Problème des huit dames, placer huit dames sur un échiquier sans qu'elles puissent se prendre entre elles.

Complexité algorithmique

La principale notion mathématique dans le calcul du coût d'un algorithme précis sont les notions de négligeabilité (notée o(f(n)), « petit o ») et de domination (notée O(f(n)), « grand o »), où f est une fonction mathématique de n, variable désignant la quantité d'informations (en bits, en nombre d'enregistrements…) manipulée dans l'algorithme. Les fonctions mathématiques relèvent de l'analyse. En algorithmique on trouve souvent des complexités du type :
-

O(1)

indépendant de la taille de la donnée
-

O(log(n))

, complexité logarithmique
-

O(n)

, complexité linéaire
-

O(n log(n))

, complexité quasi-linéaire
-

O(n^)

, complexité quadratique
-

O(n^)

, complexité cubique
-

O(n^p)

, complexité polynômiale
-

O(n^)

, complexité quasi-polynômiale
-

O(2^)

, complexité exponentielle
-

O(n!)

, complexité factorielle Sans entrer dans les détails mathématiques, on peut dire que lorsque l'on calcule l'efficacité d'un algorithme (sa complexité algorithmique), on cherche davantage à connaître l'évolution du nombre d'instructions de base en fonction de la quantité de données à traiter (par exemple, dans un algorithme de tri, le nombre de lignes à trier), que le coût exact en secondes et en quantité de mémoire. Baser le calcul de la complexité d'un algorithme sur le temps qu'un ordinateur particulier prend pour effectuer le-dit algorithme ne permet pas de prendre en compte la structure interne de l'algorithme ni la particularité de l'ordinateur : selon sa charge de travail, la vitesse de son processeur, la vitesse d'accès aux données ou même l'exécution de l'algorithme (qui peut faire intervenir le hasard) le temps d'exécution ne sera pas le même.

Quelques indications sur l'efficacité des algorithmes

Souvent, l'efficacité d'un algorithme n'est connue que de manière asymptotique, c'est-à-dire pour de grandes valeurs du paramètre n. Lorsque ce paramètre est suffisamment petit, un algorithme de complexité supérieure peut en pratique être plus efficace. Ainsi, pour trier un tableau de 30 lignes (c'est un paramètre de petite taille), il est inutile d'utiliser un algorithme évolué comme Quicksort (l'un des algorithmes de tri les plus efficaces en moyenne) : l'algorithme de tri le plus trivial sera suffisamment efficace. À noter aussi : entre deux algorithmes dont la complexité est identique, on cherchera à utiliser celui dont l'occupation mémoire est la plus faible. L'analyse de la complexité algorithmique peut également servir à évaluer l'occupation mémoire d'un algorithme. Enfin, le choix d'un algorithme plutôt qu'un autre doit se faire en fonction des données que l'on s'attend à lui fournir en entrée. Ainsi, le Quicksort (ou tri rapide), lorsque l'on choisit le premier élément comme pivot, se comporte de façon désastreuse si on l'applique à une liste de valeur ... déjà triée ! Il n'est donc pas judicieux de l'utiliser si on prévoit que le programme recevra en entrée des listes à peu près triées. Un autre paramètre à prendre en compte est la localité de l'algorithme. Par exemple pour un système à mémoire virtuelle qui dispose de peu de mémoire (par rapport au nombre de données à traiter), le Tri rapide sera normalement plus efficace que le Tri par tas car le premier ne passe qu'une seule fois sur chaque élément de la mémoire tandis que le second accède à la mémoire de manière discontinue (ce qui augmente le risque de "swapping").

Les heuristiques

Pour certains problèmes, les algorithmes ont une complexité beaucoup trop grande pour obtenir un résultat en temps raisonnable, même si l'on pouvait utiliser une puissance de calcul phénoménale. On est donc amené à rechercher une solution la plus proche possible d'une solution optimale en procédant par essais successifs. Puisque toutes les combinaisons ne peuvent être essayées, certains choix stratégiques doivent être faits. Ces choix, généralement très dépendants du problème traité, constituent ce qu'on appelle une heuristique. Le but d'une heuristique est donc de ne pas essayer toutes les combinaisons possibles avant de trouver celle qui répond au problème, afin de trouver une solution approchée convenable (qui peut être exacte dans certains cas) dans un temps raisonnable. C'est ainsi que les programmes de jeu d'échecs, de jeu de go (pour ne citer que ceux-là) font appel de manière très fréquente à des heuristiques qui modélisent l'expérience d'un joueur. Certains logiciels antivirus se basent également sur des heuristiques pour reconnaître des virus non répertoriés dans leur base, en s'appuyant sur des ressemblances avec des virus connus.

Applications

- Cryptologie et Compression de données
- Structure de données, Algorithmes de tri et Recherche dichotomique
- Allocation de mémoire et ramasse-miettes
- Informatique musicale
- Algorithme génétique en informatique décisionnelle

Voir aussi

- Al-Khuwarizmi
- Algorithme récursif
- Algorithme réparti
- Langage K
- Métaheuristique
- Structure de contrôle

Liens externes

- [http://www-ipst.u-strasbg.fr/pat/program/algo.htm Introduction à l'algorithmique, avec des exemples en langage C]
- [http://www.pise.info/algo/codage.htm Initiation à l'algorithmique]
- [http://www.myalgorithm.com Algorithmes de base dans plusieurs langages de programmation]

Chiffres arabes

Les chiffres dits « arabes », qui furent d'abord utilisés en France puis dans toute l'Europe et enfin dans le monde entier, sont en réalité des chiffres indiens : ils sont nés en Inde. Ils ont été décrits dans un ouvrage d'Al Khawarizmi, et ont été probablement transmis à l'Europe depuis l'Andalousie musulmane vers la fin du grâce à l'enseignement du calcul sur abacus, tel que pratiqué par les Arabes. On en trouve des attestations claires dans le Liber abaci de Fibonacci, datant de 1202. Ce sont des logogrammes. Alors d'emploi très limité, l'utilisation de ces chiffres dits « arabes » (alors que les Arabes, les nomment, à juste titre, « chiffres hindîs ») n'a vraiment commencé à se généraliser en Europe et dans le monde arabe qu'au . Leur tracé définitif est attesté d